回文字

ども。たです。

相変わらず Weekday はネタを考えたりするのが面倒
なのと、今週末までに手当たりしだいにライブ召集
掛けなければならないんで、あっさり行きます。

今日は、昨日アナウンスしておいた N 能研の問題
について。

どこぞやの中学入試らしいですが、こんな問題です。

99、121、2442、23432 のように「左から読んでも
右から読んでも同じ整数」を回文字ということにします。
このとき、次の問いに答えなさい。

① 5 をかけると回文字になる 3 けたの整数のうち、
　　最も大きい数を求めなさい。

② 15 で割り切れる 4 けたの回文字の中で、最も
　　大きい数を求めなさい。

③ 15 で割り切れ、その商も回文字になる 4 けた
　　の回文字を求めなさい。


問題自体はこんな感じ。ま、あることに気づいちゃえば、
あとは力技で答えが出ます。

ヒントは、
「5 をかけたり、15 で割るってところ。1 の位の数字が決まります。」
＃知りたくない人のために、白い文字で書いてます。
＃反転させてご覧ください。

さて、今日はサクッと答え行って終わりましょう。

①
5 掛けて、その答えが回文字になるってことなんで、
まずは、5 の倍数の特徴を捉えておきましょうか。

　5 × 1 = 5
　5 × 2 = 10
　5 × 3 = 15
　5 × 4 = 20
　5 × 5 = 25
　　　・
　　　・
　　　・

って、書くまでもないと思いますがｗ
1 の位が 0 or 5 だということに気づくでしょうか？
で、回文字なので、1 の位は 0 にはなりえません。
＃ 1 の位が 0 になっちゃうと、最上位桁が 0 になるので。

なので、1 の位が "5" と決まります。
次に、3 桁の数に 5 をかけた場合、得られる答えは
3 桁、ないしは 4 桁となるので、5 をかけた回文字は
5?5 or 5??5 となるはずです。

で、かけられる元の数は 3 桁とわかっているので、
999 に 5 を掛けても 4995 なので、5??5 はあり得ず、
5?5 だとわかります。後は、最も大きい数を探せと
なっているので、595 から順に吟味していけばよい
だけです。
この場合は、たまたま上手いこと
　595 / 5 = 119
となり、割り切れちゃうので、これが答えで、
119 となります。

②
これも一緒。15 で割り切れないといけないので、
1 の位は "5" で確定。となると、最上位桁も "5"
となるので、答えは、5??5 となり、これもその
中で最大のものとなっているので、5995 から順
に吟味していけばよく、

　5995 / 15 = 399.666...
　5885 / 15 = 392.333...
　5775 / 15 = 385

よって、答えは 5775 となる。

③
これは②で解答の半分まできちゃってます。
15 で割り切れる 4 桁の回文字って段階で、
答えは 5??5 となります。また 5775 までに
商まで回文字になっているような答えはなかった
ので、続きからやればよいだけ。

　5665 / 15 = 377.666...
　5555 / 15 = 370.333...
　5445 / 15 = 363

で、これは回文字となっているので、これが
答えで、5445 となります。


これを電車で暗算しかできないような状態で解け
というのだから、N 能研さん、鬼です。
＃結構面白かったですけど。

そんなこんなで。
では。