囚人のパズル・解答編

ども。たです。

今日は、ついに少し前にお送りした、
「囚人のパズル」の解答編行きます。

あ、我が牧場期待の牝馬ちゃんですが、
結局プラン 2 : あと 1 つ 2 つ称号を増やして秋華賞直行
というローテーションにしてみました。
一応、アメリカンオークス (GI) と CCA オークス (GI) を
その称号に加え、現在、最後の 1 冠・秋華賞に向かうべく
短期放牧中でつ　(・∀・)

もー、こりゃね。何が何でも牝馬三冠達成させてみせますよ。
一応この後にも、ボールドルーラー系エディット牡馬と
ダンスパートナーちゃんの間にスピード能力 A の牝馬が
控えてはいるけど、こいつはサブパラが若干怪しいので　^^;

ってワケで、本題に行きます。

まずは、「囚人のパズル」出題編のおさらいから。

・ここに 3 人の囚人 A、B、C がいる。
・ある日、看守より、3 人のうち 2 人は、近日中に死刑が執行される
　と告げられる。
・このままでは、自分の死ぬ確率が 2/3 だと落胆した囚人 A は、
　あることを思い立ち看守に、自分以外の 2 人のうち 1 人の名前を
　教えてくれと頼む。
・看守は A の提案に納得し、「少なくとも B は死刑だ。」と A に教える。
・A は自分の死刑になる確率が 2/3 から 1/2 になったと喜んだ。

という感じの話。
で、問題としては、この議論が正しいかそうでないか。。。

ま、こういう聞き方をしていることなどから判断して、勘の良い人は、
答えを聞くまでもなくお分かりでしょうｗ

…そうです。答えとしては、「A の考えは間違えている。」が正解。

つまり、元々 A が死刑になる確率は 2/3 だった。
そして、看守の発言「少なくとも B は死刑。」を聞いた後も、
A の死ぬ確率は、2/3 のまま変わっていないことになります。

ってことは、B の死刑になる確率が 2/3 -> 1 になった今、
誰かの死ぬ確率が 1/3 になってないといけないことになり、
それは、C ということになります。

いやー、複雑っすねぇ～ｗ
どういうことか分かりますか？？？

要は、A と C の置かれている立場の違いを考えれば良いのです。
つまり、これは、A、B、C の 3 者によるトーナメントみたいなモンで、
A が看守に持ちかけた話は、要するに、A をシードとして、B と C を
戦わせたにすぎないのです。

つまり、A は何ら勝敗に関わっていないので、A の死刑になる確率は
一切変わらず、B vs C 戦で勝利した C は、より死刑になる確率が
減っているということになります。

そう考えると、B と C、対戦前は、ともに死ぬ確率は 2/3。
で、単純に確率論だと考えれば、B も C も勝つ確率は 1/2。
ま、多分数学的には間違えていると思いますが、
そこから勝った、C の死ぬ確率は 2/3 × 1/2 = 1/3 となる
って感じかな。

と、言葉で簡潔に説明しようとすると、こうなりますかね。

さて、これでは数学的な議論が一切ないので、もう少し
ちゃんとした解説をしましょうか。

A、B、C の 3 人の中から、無作為に 2 人を抜き出し、
並べる方法は、全部で 6 通りあります。

　　1 ) A、B
　　2 ) B、A
　　3 ) A、C
　　4 ) C、A
　　5 ) B、C
　　6 ) C、B

の 6 通りですね。死刑になる 2 人を選ぶということであれば、
1 と 2 は重複しているようですが、余程のことがない限り、
看守は、前にある人名前を言うと考えれば、意味があることを
理解していただけるでしょうか。

つまり、5 も 6 も死刑になるのは、B & C で変わらないが、
5 の場合、看守は、A に死刑になるのは B だ、と告げ、
6 の場合は、C だ、と告げるということです。

さて、今回質問者は A なので、この人の生き死には
看守には告げられないとなっています。
つまり、1 の場合でも看守は、ちょっと考えた後、
「死刑になるのは、B だ。」と答えるということです。
同様に、3 の場合でも看守は「C が死刑になる。」と答えます。

こういうルールを理解した上で、「死刑になるのは B だ。」
と看守が言う場合を考えてみましょうか。
上記 6 通りの中で考えると、1、2、5 の 3 通りしかなく、
この中で、C が死刑になるのは 5 だけで、それ以外は全て
A が死刑になることになります。

1、2、5 の 3 条件中、C が死刑になるのは 5 の 1 条件のみだから、
C の死刑になる確率は 1/3 で、同様に A は 2/3 になるワケです。

A がもう少し頭の切れる人物だったならば、看守の発言の後に
こう付け加えるべきです。

「そうか。B には残念なことだ。死刑になるのは 2 人ってことだから、
　俺と C で、確率は 1/2 か。。。既にもう 1 人は、どっちか決まって
　いるんだよな？可能ならば、俺と C の運命を変えることはできないか？
　同じ 1/2 なら、自分の運命は自分で決めたいんだ。
　それなら俺も納得できる。このままいくと、2 人が 2 人とも、
　失意のまま死刑を迎えることになる。しかし、もし、もう 1 人が、
　C と運命を交換した俺だったら、少なくとも自分の選択だと納得して
　死ねるだろう。その方が執行人の心の負担も減るんじゃないか？」

とｗ
これで看守が首を縦に振ってくれりゃしめたものｗ
A の死ぬ確率は 1/2 どころか 1/3 になるって、ちょっとした
錬金術チックな話。
あ、まあ、でも、実現には演技力が必要だけどねｗｗｗ


この話は、別の形でも提供されており、それはこんな感じ。

クイズ番組で成績トップだったあなたの前に最後の運だめし
として、3 つの箱が置かれています。そのうち 1 つは念願の
「ハワイ旅行」。そして残りの 2 つは、「ハズレ」。

最後のゲームの流れはこう。まずあなたが「ハワイ旅行」の
入っていると思われる箱を 1 つ選びます。
その後、司会者が、残った 2 つの箱のうち、「ハズレ」
の箱を 1 つ開け、最後にこう言います。

「さぁ、箱をチェンジするなら今ですよ。」

このとき選択肢としては stay or change のどちらがより良いか？

という感じ。
この話と、さっきの囚人問題が同じだって言ってんだから、
当然より良いのは、『change』となる。

この話だって簡単。
最初の段階で、正解を選ぶ確率は、間違いなく 1/3。
つまり 2/3 は、ハズレを選択しているわけだが、
その後、司会者が選んでいない箱のうち、ハズレである方
を教えてくれるのだから、選ばなかった箱のうち、
司会者が開けなかった方に「ハワイ旅行」が入っている確率は、
2/3 もあるってワケです。

う～ん。確率って難しいｗ

そんなこんなで。
では。