なんもねえ。

ども。たです。

あー、相変わらずこんな時間で、相も変わらずネタがねぇ。
さぁ、こういうときどうするか。。。
＃ちなみに、今 6:13 AMｗ

えっと、昨日の囚人のパズルの答えをいくのも何なんで、
今日は、他の確率的な話で面白いの紹介します。

えっと、グループとして何人集まれば、その中に同じ誕生日
の人が存在する確率が 50% を超えるか、、、って話。

さてさて、数学的根拠なんてなくて良いので、勘で答えてみてください。



…。



……。



もうそろそろ良いかな？
もうチョイ待つか。。。



…。



……。



ってことで、時間切れ。
正解は、23 人ってことです。
ちなみにこれは、うるう年は無視して計算されています。
とは言いながらも、どうですかね？直観的な数字と比べて
だいぶ少なくないですか？

小中高と大体のクラスの人数が 40 人くらいだったから、
そうなると、90% は同じ誕生日の人がいる計算になるのかな？
自分の経験上もそんなに高い確率じゃなかった気もするけど。。。

ちなみに、根拠がないと信じ難いっすよね。
これは確率の計算としてはえらく簡単で、n 人のグループが
あったとして、その中の人の誕生日が重複しない確率を
1 から引けば、その確率が得られる。

こういう時は、自分の場合、簡単な例でいくつか考えそこから
法則を見つけます。

i) グループの構成員が 2 人の場合

P(2) = 1 ・ (364/365) = 0.997


ii) グループの構成員が 3 人の場合

P(3) = 1 ・ (364/365) ・ (363/365) = 0.992


iii) グループの構成員が 4 人の場合

P(4) = 1 ・ (364/365) ・ (363/365) ・ (362/365) = 0.984


さてそろそろ法則が見えてきたでしょうか？
最初の 1 を (365/365) と考えると、どうやら、分子は、
365 からグループの構成員分カウントダウンしていってそうで、
分母は 365 のままで良さそうですね。

ちなみに、数学では 3 × 2 × 1 のようにカウントダウンしながら
掛け算をしていくものを 3! のように ! を使って表します。

なので、一般式としては、

P(n) = 365! / {365^n × (365 - n)!}

こう書くとえらく見難いなぁ。。。
上手く表現できるか分からんけど、ちょっと頑張ると、、、

　　　　　　　　365!
P(n) = ----------------------
　　　　365^n × (365 - n)!

こんな感じ。これを計算すると、、、
とか言いながら、n! をエクセルでどう計算させるかで格闘ｗ
しばらくして FACT(n) でいけると判明するも FACT 関数は
170 以上の引数は数値が膨大すぎて受け取らない模様。

ってことで、しょうがなく COMBIN 関数で代用。
COMBIN と FACT を組み合わせれば、この関数は作れる。

P(n) = COMBIN(365,n) * FACT(n) / 365^n

ね。

こうやって計算させると、

P(22) = 0.524
P(23) = 0.493

と n = 23 で 0.5 を切ることが分かる。
同じ誕生日の人が 2 人以上いる確率は、ここから

1 - P(23) = 0.507

で、約 50.7% の確率である集団に同じ誕生日の人が
存在することが分かる。

つまりだ、23 人のグループを 2 つ作れば、
そのどちらかに、同じ誕生日の人が存在するということに
なるのだけど、本当にそんなに上手くいくのか？？？

また、

P(40) = 0.109
P(41) = 0.097

となることから、41 人いれば、その集団の中に
90% の確率で同じ誕生日の人がいるということになる。
これはつまり、自分らが子どもの頃の 1 学級の人数が
大体 40 人くらいだったから、ほとんどの学級で、
同じ誕生日の人が一組は居なきゃならない計算だ。

本当にそんなに高かったかな？
不思議だ。。。

ま、この辺が『誕生日のパラドックス』とか言われちゃう
所以なんだろうな。

そんなこんなで。
では。